प्राकृतिक संख्या। परिभाषा और नियम

प्राकृतिक संख्या की परिभाषा क्या है? प्राकृतिक संख्याओं के कुछ उदाहरण क्या हैं? क्या शून्य प्राकृतिक है?

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1. प्राकृतिक संख्याएँ। परिभाषा

प्राकृत संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक होती हैं, अर्थात् - 1, 2, 3, 4, 5 ... कभी-कभी प्राकृत संख्याओं में शून्य भी सम्मिलित हो जाता है। इसलिए, गणितीय पुस्तक के लेखक को हमेशा यह निर्धारित करना चाहिए कि वह संख्या शून्य को प्राकृतिक मानता है या नहीं।

हम प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को N अक्षर से निरूपित करते हैं। अक्सर हम अंकन N + से मिल सकते हैं, जिसका अर्थ है धनात्मक प्राकृत संख्याओं का समुच्चय, अर्थात शून्य के बिना।

एन अनंत है, जिसका अर्थ है कि सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या मौजूद नहीं है।

2. प्राकृतिक संख्याएँ। नियम

प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग कार्डिनैलिटी और ऑर्डरिंग के लिए किया जाता है। प्राकृतिक संख्याओं के दो कार्यों को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:

  • दिए गए सेट में कितने तत्व हैं;
  • स्ट्रिंग में कौन सा तत्व दिया गया है।

दूसरे शब्दों में, प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका उपयोग लोग चीज़ों को परिमाणित या क्रमित करने के लिए करते हैं। वास्तविक दुनिया में, ऋणात्मक मात्राएँ मौजूद नहीं होती हैं क्योंकि यदि कुछ है, तो उसे मात्रा या अनुक्रम फिर से लिखा जा सकता है। अतः प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में कोई ऋणात्मक संख्या नहीं होती है।

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3. क्या शून्य प्राकृतिक है?

गणितज्ञ अभी भी इस बात पर बहस कर रहे हैं कि क्या संख्या 0 को प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में शामिल किया जा सकता है।

कभी-कभी प्राकृतिक संख्याओं को शून्य से और दूसरी बार बिना शून्य के परिभाषित करना सुविधाजनक होता है। इसलिए, दोनों दृष्टिकोण स्वीकार्य हैं।

यदि हम यह इंगित करना चाहते हैं कि मानी गई संख्याओं में 0 है, तो हम अंकन N∪ {0} का उपयोग करते हैं। हालांकि, अगर हम यह इंगित करना चाहते हैं कि हम प्राकृतिक संख्याओं के सेट में 0 शामिल नहीं करते हैं, तो हम नोटेशन एन + या एन {0} का उपयोग करते हैं।

4. पीनो के अभिगृहीत

यद्यपि मनुष्य प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग लगभग सभ्यता के प्रारंभ से ही करता आ रहा है, लेकिन गणितज्ञों को प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की एक सख्त परिभाषा विकसित करने में काफी समय लगा।

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को इतालवी गणितज्ञ और तर्कशास्त्री ग्यूसेप पीनो (1858-1932) द्वारा प्रस्तावित शब्दों द्वारा परिभाषित किया गया है। उन्हें पीनो के अभिगृहीत या अभिधारणाएँ कहा गया है। यहाँ उनकी मुख्य मान्यताएँ हैं:

  • एक प्राकृतिक संख्या 0 है;
  • प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का एक परिणाम होता है;
  • 0 किसी प्राकृत संख्या का उत्तराधिकारी नहीं है;
  • विभिन्न प्राकृतिक संख्याओं के अलग-अलग उत्तराधिकारी होते हैं;
  • यदि 0 के पास दी गई संपत्ति है और किसी भी प्राकृतिक संख्या के उत्तराधिकारी के पास यह संपत्ति है, तो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में यह संपत्ति होती है।

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5. प्राकृतिक संख्याएँ। गणितीय संचालन

हम प्राकृत संख्याओं को जोड़ और गुणा कर सकते हैं। इन क्रियाओं का परिणाम हमेशा एक प्राकृतिक संख्या होगी। प्राकृतिक घातांक की घात तक बढ़ाई गई प्राकृत संख्या भी एक प्राकृत संख्या होगी।

यह प्राकृत संख्याओं में से मूलों को घटाने, विभाजित करने और निकालने की स्थिति में भिन्न है।

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6. प्राकृतिक संख्याएँ। वे किस संग्रह से संबंधित हैं?

प्राकृत संख्याएं पूर्णांकों के समुच्चय से संबंधित होती हैं।

पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याओं का विस्तार हैं। इन संख्याओं के समुच्चय में हम उनकी सभी ऋणात्मक संख्याएँ जोड़ते हैं, अर्थात् वे जिनमें ऋणात्मक और शून्य होती हैं। यहाँ पूर्णांकों का एक उदाहरण दिया गया है: ...− 6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...

हम पूर्णांकों के समुच्चय को प्रतीक Z से निरूपित करते हैं। धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय प्राकृत संख्याओं का समुच्चय होता है।

बदले में, पूर्णांक वास्तविक संख्याओं के एक उपसमुच्चय का हिस्सा होते हैं, जिन्हें प्रतीक R द्वारा दर्शाया जाता है। वास्तविक संख्याओं के एक सेट का उदाहरण:

0, 1, −3, 56, 2–√, π

वास्तविक संख्याओं को परिमेय और अपरिमेय में विभाजित किया जा सकता है।

  • अपरिमेय संख्या - यह एक ऐसी संख्या है जिसे नियमित अंश के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। एक अपरिमेय संख्या का उदाहरण: 2 - , 3 - , 5 - ;

  • परिमेय - एक संख्या जिसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। हम परिमेय संख्याओं के समुच्चय को प्रतीक Q से प्रदर्शित करते हैं।

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