अभाज्य सँख्या। उन्हें कैसे नियुक्त करें?

अभाज्य संख्याएँ 1 से बड़ी प्राकृत संख्याएँ होती हैं जिनमें ठीक दो प्राकृत भाजक होते हैं: 1 और स्वयं। सभी अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को चिह्न से चिह्नित किया जाता है। कौन सी संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं? वे जल्दी से क्या सेट हैं?

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1. प्राकृत संख्याएँ कब प्रकट हुईं?

यह स्पष्ट रूप से परिभाषित करना मुश्किल है कि प्राकृतिक संख्याएँ पहली बार कब दिखाई दीं। संभवतः साधारण संख्यात्मक संक्रियाएं हमेशा लोगों के पास रही हैं। पहले से ही प्रागैतिहासिक शिकारियों ने शून्य, एक, दो और कई जैसी अवधारणाओं के बीच अंतर किया, और फिर इन कौशलों का उपयोग शिकार किए गए जानवरों की संख्या का वर्णन करने के लिए किया।

इसके अलावा, यह साबित हो गया है कि कई पशु प्रजातियां छोटी फसल की संख्या को आसानी से पहचान लेती हैं, इसलिए यह केवल मानव जाति का क्षेत्र नहीं है, हालांकि मनुष्यों में ये कौशल बहुत बड़े पैमाने पर विकसित हुए हैं।

मनुष्य स्वाभाविक रूप से बढ़ती हुई संख्या के साथ विकसित हुआ क्योंकि उसे दैनिक जीवन के लिए इसकी आवश्यकता थी। एक ओर, क्योंकि जनजातियां बढ़ीं, लेकिन प्रजनन, शिकार और व्यापार की तकनीकों में भी विकसित हुईं, जिसके लिए अधिक से अधिक संख्या में सटीक हेरफेर की आवश्यकता थी। शत्रुतापूर्ण जनजातियों के आकार और उनसे लिए जा सकने वाले संसाधनों को निर्धारित करने में अधिक प्राकृतिक संख्याएं भी मनुष्य के लिए उपयोगी थीं।

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बहुत बार, प्राप्त ट्राफियां एक आम अच्छा था क्योंकि स्वतंत्र शिकार अतीत की बात थी, और लुटेरों और शिकारियों के समूहों ने परिवारों के लिए भोजन और कल्याण प्रदान करने के लिए मिलकर काम किया। इसलिए यह पूछना स्वाभाविक हो गया कि अर्जित संसाधनों को उचित रूप से कैसे विभाजित किया जाए।

यह पता चला कि कुछ सेटों को समान भागों में विभाजित किया जा सकता है ताकि प्रत्येक सेट में प्रत्येक प्रकार का एक तत्व हो। ऐतिहासिक साक्ष्यों के अनुसार, ऐसे सेटों के आकार का वर्णन करने वाली छोटी संख्याएँ (जिन्हें हम अब अभाज्य संख्याएँ कहते हैं) आज के कांगो के लोगों को २०,००० साल पहले भी ज्ञात थे।

2. कौन सी संख्याएँ अभाज्य हैं?

अभाज्य संख्याएँ 1 से और स्वयं से विभाजित होती हैं। 1 - 100 की सीमा में हम निम्नलिखित संख्याओं को सूचीबद्ध कर सकते हैं:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

इन संख्याओं की सूची में संख्या 4 शामिल नहीं है, उदाहरण के लिए, क्योंकि इसमें 3 भाजक हैं: 1, 2 और 4। इसी तरह, संख्या 6 में 4 हैं और ये भाजक हैं: 1,2,3 और 6।

वे प्राकृत संख्याएँ जो 1 से बड़ी हैं और अभाज्य नहीं हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं, इसलिए 4 और 6 भाज्य संख्याएँ हैं।

यह जोड़ने योग्य है कि संख्या 0 और 1 न तो जटिल हैं और न ही अभाज्य।

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3. अभाज्य संख्याओं में जुड़वां संख्या numbers

अभाज्य संख्याओं में से हम तथाकथित जुड़वां संख्याओं को अलग कर सकते हैं - दो अभाज्य संख्याएँ जिनका अंतर 2 है। उदाहरण के लिए, वे हैं:

  • 3 और 5;
  • 11 और 13;
  • 59 और 61।

4. अभाज्य संख्याओं के गुण

  • 1 के अलावा, एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या का सबसे छोटा प्राकृतिक भाजक एक अभाज्य संख्या है;
  • एक कभी-पूर्ण सेट में सभी अभाज्य संख्याएँ नहीं होती हैं, जैसा कि यूक्लिड ने पहले ही साबित कर दिया था।
  • 1 से बड़ी सभी प्राकृत संख्याओं को विशिष्ट रूप से कुछ अभाज्य संख्याओं के परिमित गैर-घटते अनुक्रम के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। उपरोक्त यूक्लिड इस प्रमेय को सिद्ध करने में सक्षम थे, उन्होंने इसके लिए आवश्यक उपकरण भी बनाए, लेकिन अंत में केवल गॉस ने ऐसा किया। यह प्रमेय अभाज्य संख्याओं की तुलना उन परमाणुओं से करता है जिनमें से शेष संख्याओं का निर्माण गुणन द्वारा किया जाता है।

5. अभाज्य संख्याओं का निर्धारण कैसे करें?

अभाज्य संख्याओं का उपयोग गणित में काफी सामान्य रूप से किया जाता है, मुख्यतः बीजगणित, संख्या सिद्धांत, एल्गोरिथम और सूचना प्रसंस्करण से संबंधित क्षेत्रों में। कई गणितज्ञ स्वयं अभाज्य संख्याओं की तुलना में उन्हें खोजने में अधिक रुचि रखते हैं।

उन्हें निर्धारित करने के लिए, कोई एक एल्गोरिथम का उपयोग कर सकता है जिसे एरास्टोथीनेस की छलनी के रूप में जाना जाता है, जो कि अभाज्य संख्याओं की खोज के सबसे पुराने तरीकों में से एक है। इस विषय का सबसे पुराना ज्ञात संदर्भ लगभग 60-120 सीई से गेरासा के निकोमाचोस के काम में प्रकट होता है।

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यह विधि आपको उन सभी अभाज्य संख्याओं को शीघ्रता से खोजने की अनुमति देती है जो दी गई सीमा से कम हैं। इसमें संभावित अभाज्यों की सूची से उन मूल्यों को व्यवस्थित रूप से हटाना शामिल है, जो जाँच के बाद, अभाज्य नहीं हैं।

एरास्टोथेनीज़ की चलनी किसी दिए गए मान से कम या उसके बराबर सभी अभाज्य संख्याओं के लिए सबसे तेज़ खोज एल्गोरिथम है। हालांकि, यह बड़े अभाज्य संख्याओं की खोज के लिए उपयुक्त नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अभाज्य संख्याओं का क्रमिक रूप से क्रम बनाना उचित नहीं है जब हम केवल उनमें से सबसे बड़े में रुचि रखते हैं।

कई गणितज्ञ अपना बहुत समय एक ऐसे पैटर्न की तलाश में लगाते हैं जो अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को व्यवस्थित कर सके। हालांकि, ऐसा लगता है कि हालांकि इन संख्याओं का वितरण काफी सम है, यह किसी भी तरह से पूर्वानुमेय नहीं है।

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